طريقة التحويل الخطي التوافقي: مبادئ توجيهية للعمل المخبري. حساب معاملات الخطية التوافقية طريقة الخطية التوافقية للتذبذب الذاتي matlab

الغرض من طريقة التوافقية الخطية.

تم اقتراح فكرة طريقة التوافقية الخطية في عام 1934. ن.م.كريلوف ون.ن.بوغوليوبوف. تطبق على الأنظمة تحكم تلقائىتم تطوير هذه الطريقة بواسطة L. S. Goldfarb و E. P. Popov. الأسماء الأخرى لهذه الطريقة وتعديلاتها هي طريقة التوازن التوافقي ، وطريقة وصف الوظائف ، وطريقة الخطية المكافئة.

طريقة الخطية التوافقية هي طريقة لدراسة التذبذبات الذاتية. يسمح للشخص بتحديد شروط وجود ومعلمات التذبذبات الذاتية المحتملة في الأنظمة غير الخطية.

إن معرفة معلمات التذبذبات الذاتية تجعل من الممكن تقديم صورة للعمليات المحتملة في النظام ، وعلى وجه الخصوص ، لتحديد ظروف الاستقرار. لنفترض ، على سبيل المثال ، أنه نتيجة لدراسة التذبذبات الذاتية في بعض الأنظمة غير الخطية ، حصلنا على اعتماد اتساع هذه التذبذبات الذاتية لكنمن معامل التحويل كالجزء الخطي من النظام ، كما هو موضح في الشكل 12.1 ، ونعلم أن التذبذبات الذاتية مستقرة.

من الرسم البياني يتبع ذلك بقيمة كبيرة لمعامل النقل ك،متى ك> ككر ، هناك تذبذبات ذاتية في النظام. يتناقص اتساعها إلى الصفر مع انخفاض معامل الإرسال كقبل كسجل تجاري. في الشكل 12.1 ، توضح الأسهم بشكل مشروط طبيعة العمليات العابرة بقيم مختلفة ك: في ك> ك kr تتقلص العملية العابرة الناتجة عن الانحراف الأولي إلى التذبذبات الذاتية. يمكن أن نرى من الشكل الذي في ك< k كر ، النظام مستقر. هكذا، ك kr هي القيمة الحرجة لمعامل النقل وفقًا لحالة الاستقرار. يؤدي فائضه إلى حقيقة أن الوضع الأولي للنظام يصبح غير مستقر وتحدث فيه التذبذبات الذاتية. وبالتالي ، فإن معرفة شروط وجود التذبذبات الذاتية في النظام يجعل من الممكن تحديد ظروف الاستقرار أيضًا.

فكرة التوافقية الخطية.

فكر في نظام غير خطي ، مخططه موضح في الشكل 12.2 ، و . يتكون النظام من جزء خطي بوظيفة النقل W l ( س) ورابط غير خطي NLبمواصفات محددة . يُظهر الارتباط بمعامل - 1 أن التغذية المرتدة في النظام سلبية. نعتقد أن هناك تذبذبات ذاتية في النظام ، اتساعها وترددها الذي نريد إيجاده. في الوضع قيد النظر ، قيمة الإدخال Xالارتباط غير الخطي والإخراج صنكون وظائف دوريةالوقت.

تعتمد طريقة الخطية التوافقية على افتراض أن التذبذبات عند مدخل الرابط غير الخطي هي جيبية ، أي البريد أن

, (12.1)

أينلكن– السعة وتواتر هذه التذبذبات الذاتية ، وهي مكون ثابت محتمل في الحالة العامة ، عندما تكون التذبذبات الذاتية غير متماثلة.

في الواقع ، تكون التذبذبات الذاتية في الأنظمة غير الخطية دائمًا غير جيبية بسبب تشويه شكلها بواسطة ارتباط غير خطي. لذلك ، هذا الافتراض الأولي يعني أن طريقة التوافقية الخطية هي تقريبي في الأساسويقتصر نطاق تطبيقه على الحالات التي تكون فيها التذبذبات الذاتية عند مدخلات الارتباط غير الخطي قريبة بدرجة كافية من الجيوب الأنفية. من أجل أن يحدث هذا ، يجب ألا يمر الجزء الخطي من النظام التوافقيات الأعلى للتذبذبات الذاتية ، أي يكون مرشح تمرير منخفض. الأخير موضح في الشكل. 12.2 ، ب . إذا كان ، على سبيل المثال ، تواتر التذبذبات الذاتية ، فإن الجزء الخطي ج الموضح في الشكل. 12.2، ب ستلعب استجابة التردد دور مرشح تمرير منخفض لهذه التذبذبات ، لأن التوافقي الثاني ، الذي يساوي تردده 2 ، لن ينتقل عمليًا إلى مدخلات الارتباط غير الخطي. لذلك ، في هذه الحالة ، فإن طريقة الخطية التوافقية قابلة للتطبيق.

إذا كان تكرار التذبذبات الذاتية يساوي ، فإن الجزء الخطي سوف يمر بحرية التوافقيات الثانية والثالثة وغيرها من التذبذبات الذاتية. في هذه الحالة ، لا يمكن المجادلة بأن التذبذبات عند مدخلات الارتباط غير الخطي ستكون قريبة بدرجة كافية من الجيوب الأنفية ، أي لم يتم استيفاء المتطلبات الأساسية لتطبيق طريقة الخط التوافقي.

من أجل تحديد ما إذا كان الجزء الخطي من النظام هو مرشح تمرير منخفض وبالتالي تحديد قابلية تطبيق طريقة الخطية التوافقية ، من الضروري معرفة تواتر التذبذبات الذاتية. ومع ذلك ، لا يمكن معرفة ذلك إلا نتيجة استخدام هذه الطريقة. هكذا، يجب تحديد قابلية تطبيق طريقة الخط التوافقي بالفعل في نهاية الدراسة كاختبار.

لاحظ أنه نتيجة لهذا التحقق ، لم يتم تأكيد الفرضية القائلة بأن الجزء الخطي من النظام يلعب دور مرشح الترددات المنخفضة ، فهذا لا يعني أن النتائج التي تم الحصول عليها غير صحيحة ، على الرغم من أنها بالطبع يلقي بظلال الشك عليهم ويتطلب تحققًا إضافيًا من قبل البعض بطريقة أخرى.

لذلك ، بافتراض أن الجزء الخطي من النظام هو مرشح تمرير منخفض ، فإننا نعتبر أن التذبذبات الذاتية عند مدخلات الارتباط غير الخطي هي جيبية ، أي لها الشكل (12.1). في هذه الحالة ، ستكون التذبذبات عند خرج هذا الارتباط بالفعل غير جيبية بسبب تشويهها بواسطة اللاخطية. كمثال ، في الشكل. في الشكل 12.3 ، يتم رسم منحنى عند خرج ارتباط غير خطي لسعة معينة لمدخل إشارة جيبية بحتة وفقًا لخاصية الارتباط المعطاة في نفس المكان.

الشكل 12.3. مرور التذبذب التوافقي من خلال ارتباط غير خطي.

ومع ذلك ، نظرًا لأننا نعتقد أن الجزء الخطي من النظام يمر فقط بالتوافقية الأساسية للتذبذبات الذاتية ، فمن المنطقي أن تهتم فقط بهذا التوافقي عند خرج الارتباط غير الخطي. لذلك ، نقوم بتوسيع تذبذبات الخرج في سلسلة فورييه وتجاهل التوافقيات الأعلى. نتيجة لذلك ، نحصل على:

;

; (12.3)

;

.

دعونا نعيد كتابة التعبير (12.2) بشكل أكثر ملاءمة للاستخدام اللاحق ، مع استبدال التعبيرات التالية فيه والحصول عليها من (12.1):

باستبدال هذه التعبيرات في (12.2) ، سيكون لدينا:

(12.4)

. (12.5)

فيما يلي الرموز:

. (12.6)

المعادلة التفاضلية (12.5) صالحة لإشارة إدخال جيبية (12.1) وتحدد إشارة خرج ارتباط غير خطي دون مراعاة التوافقيات الأعلى.

المعاملات وفقًا للتعبيرات (12.3) لمعاملات فورييه هي وظائف المكون الثابت ، السعة لكنوتواتر التذبذبات الذاتية عند إدخال الرابط غير الخطي. في ثابت لكن، والمعادلة (12.5) خطية. وبالتالي ، إذا تم تجاهل التوافقيات الأعلى ، فبالنسبة للإشارة التوافقية الثابتة ، يمكن استبدال الرابط غير الخطي الأصلي بوصلة خطية مكافئة موصوفة في المعادلة (12.5). هذا الاستبدال يسمى الخطي التوافقي .

على التين. يوضح الشكل 12.4 مخططًا تخطيطيًا لهذا الارتباط ، ويتألف من رابطين متوازيين.

أرز. 12.4. ارتباط خطي مكافئ ناتج عن الخطية التوافقية.

يمر أحد الروابط () بالمكون الثابت ، والآخر يمرر المكون الجيبي للتذبذبات الذاتية.

تسمى المعاملات معاملات الخطية التوافقيةأو مكاسب متناسقة: - معامل النقل للمكون الثابت. - معاملا نقل للمكوِّن الجيبي للتذبذبات الذاتية. يتم تحديد هذه المعاملات من خلال اللاخطية وقيم ومن خلال الصيغ (12.3). هناك تعبيرات جاهزة تم تحديدها بواسطة هذه الصيغ لعدد من الروابط غير الخطية النموذجية. بالنسبة لهذه الروابط وبصفة عامة لجميع الروابط غير الخطية بالقصور الذاتي ، لا تعتمد الكميات على السعة وهي وظائف فقط لكنو .

عندما يتم تطبيق إشارة توافقية على مدخلات نظام خطي

يتم أيضًا تعيين إشارة توافقية عند خرج النظام ، ولكن بسعة مختلفة ويتم إزاحتها في الطور بالنسبة للإدخال. إذا تم تطبيق إشارة جيبية على مدخلات عنصر غير خطي ، فإن التذبذبات الدورية تتشكل عند خرجها ، ولكنها تختلف اختلافًا كبيرًا في الشكل عن تلك الجيبية. كمثال ، في الشكل. يوضح 8.17 طبيعة التغيير في متغير الإخراج لعنصر غير خطي بخاصية الترحيل (8.14) عند دخول التذبذبات الجيبية (8.18) إلى مدخلاته.

بتوسيع الإشارة الدورية عند خرج عنصر غير خطي إلى سلسلة فورييه ، فإننا نعرضها على أنها مجموع مكون ثابت ومجموعة لا حصر لها من المكونات التوافقية:

, (8.19)

أين – المعاملات الثابتة لسلسلة فورييه ؛ - تردد التذبذب للتردد التوافقي الأول (التردد الأساسي) ، مساوٍ لتردد التذبذبات الجيبية المدخلة ؛ تي -فترة تذبذب التوافقي الأول ، تساوي فترة التذبذبات الجيبية المدخلة.

يتم تغذية إشارة الخرج للعنصر غير الخطي إلى مدخلات الجزء الخطي من ACS (انظر الشكل 8.1) ، والذي ، كقاعدة عامة ، لديه قصور ذاتي كبير. في هذه الحالة ، لا تنتقل مكونات الإشارة عالية التردد (8.19) عمليًا إلى إخراج النظام ، أي الجزء الخطي هو مرشح بالنسبة للمكونات التوافقية عالية التردد. في هذا الصدد ، ومع الأخذ في الاعتبار أيضًا أن اتساع المكونات التوافقية تتناقص مع زيادة التردد التوافقي ، للحصول على تقدير تقريبي لقيمة خرج عنصر غير خطي ، في عدد كبير من الحالات ، يكفي أن نأخذ في الاعتبار فقط المكون التوافقي الأول في.

لذلك ، في حالة عدم وجود مكون ثابت في تذبذبات الإخراج ، يمكن كتابة التعبير (8.19) تقريبًا على النحو التالي:

التعبير من الصيغة (8.20) الدالة ومن المشتق - وظيفة نقوم بتحويل التعبير (8.20) كالتالي:

. (8.21)

وبالتالي ، فإن الاعتماد غير الخطي لقيمة المخرجات على قيمة الإدخال في عنصر غير خطي يتم استبداله تقريبًا بالاعتماد الخطي الموصوف في التعبير (8.21).

بعد إجراء تحويل لابلاس في التعبير (8.21) ، نحصل على:

أما بالنسبة للروابط المستمرة ، فإننا نقدمها في الاعتبار وظيفة النقل لعنصر خطي غير خطي متناسق , كنسبة صورة كمية المخرجات إلى صورة كمية الإدخال:

. (8.22)

الجدول 8.1

معاملات الخطية التوافقية للخطوط اللاخطية النموذجية

خاصية ثابتة لعنصر غير خطي
استجابة خطية مع deadband
الخاصية الخطية مع التحديد
استجابة خطية مع deadband والقص
خاصية "رد الفعل العكسي"
خاصية التتابع المثالية
خاصية التتابع التي لا لبس فيها مع النطاق الترددي
استجابة مرحل غامضة مع deadband
قطع مكافئ مكعب:
خاصية "حلقة التخلفية"

تختلف وظيفة النقل لعنصر غير خطي اختلافًا كبيرًا عن وظيفة النقل لنظام خطي ، والتي تكمن في حقيقة أنها تعتمد على اتساع وتكرار إشارة الإدخال.

يمكن كتابة التعبير (8.22) على النحو التالي:

ف(أ) + ف 1 (أ), (8.23)

أين ف (أ),ف 1 (أ)هي معاملات الخطية التوافقية ، المُعرَّفة على أنها نسبة معاملات سلسلة فورييه للتوافقي الأول لتذبذبات الخرج إلى سعة تذبذبات الإدخال:

ف(أ) = ف 1 (أ) = . (8.24)

الاستعاضة في التعبير (8.23) صفي ، نحصل على تعبير لـ مكسب معقد للعنصر غير الخطي :

ف(أ) +ي ف 1 (أ), (8.25)

وهو تناظرية لـ AFC للوصلة الخطية.

كمثال ، دعنا نحدد تعبيرًا لمعامل النقل المعقد لعنصر غير خطي بخاصية الترحيل الثابتة (8.14). معاملات سلسلة فورييه أ 1 و ب 1 للخطية المشار إليها هي:

ب 1 .

من الواضح أن المعامل ب 1 ستكون مساوية للصفر لأي عنصر غير خطي مع ثابت غير خطي متماثل فردي.

أين - وظيفة النقل للجزء الخطي من النظام ؛ - وظيفة النقل لعنصر غير خطي بعد خطيته.

اذا كان ، ثم يمكن كتابة التعبير (8.26) على النحو التالي:

الاستعاضة في التعبير (8.27) صفي ، نحصل على تعبير معقد يكون من الضروري فيه فصل الأجزاء الحقيقية والخيالية:

[ ف(أ) +ي ف 1 (أ) ] . (8.28)

في هذه الحالة ، نكتب شرط حدوث التذبذبات الدورية في النظام بالتردد والسعة:

(8.29)

إذا كانت حلول النظام (8.29) معقدة أو سلبية ، فإن وضع التذبذبات الذاتية في النظام مستحيل. وجود حلول حقيقية إيجابية و تشير إلى وجود تذبذبات ذاتية في النظام والتي يجب التحقق من استقرارها.

كمثال ، لنجد شروط حدوث التذبذبات الذاتية في البنادق ذاتية الدفع ، إذا كانت وظيفة النقل لجزءها الخطي تساوي:

(8.30)

وعنصر غير خطي من النوع "حلقة التخلفية".

وظيفة النقل لعنصر خطي غير خطي متناسق (انظر الجدول 8.1) هي:

. (8.31)

استبدال التعبيرات (8.30) و (8.31) في تعبير (8.26) والاستبدال صفي ، ابحث عن التعبير عن:

من هنا ووفقًا للتعبير (8.29) نحصل على الشروط التالية لحدوث التذبذبات الذاتية في النظام:

عادة ما يكون حل نظام المعادلات (8.29) صعبًا ، لأن معاملات الخطية التوافقية لها اعتماد معقد على اتساع إشارة الدخل. بالإضافة إلى ذلك ، بالإضافة إلى تحديد السعة والتردد ، من الضروري تقييم استقرار التذبذبات الذاتية في النظام.

يمكن التحقق من شروط حدوث التذبذبات الذاتية في نظام غير خطي ومعلمات دورات الحد باستخدام معايير ثبات التردد ، على سبيل المثال ، معيار استقرار نيكويست. وفقًا لهذا المعيار ، في وجود التذبذبات التلقائية ، فإن خاصية مرحلة الاتساع لنظام الحلقة المفتوحة المتناسق الخطي تساوي

يمر بالنقطة (-1 ، j0). لذلك ، من أجل والمساواة التالية تصح:

. (8.32)

يمكن الحصول على حل المعادلة (8.32) فيما يتعلق بتردد وسعة التذبذبات الذاتية بيانياً. للقيام بذلك ، على المستوى المعقد ، من الضروري ، عن طريق تغيير التردد من 0 إلى ، إنشاء hodograph AFC للجزء الخطي من النظام ، وعن طريق تغيير السعة لكنمن 0 إلى ، قم ببناء hodograph للخاصية العكسية للجزء غير الخطي ، مأخوذ بعلامة ناقص. إذا لم تتقاطع هذه hodographs ، فلن يكون وضع التذبذبات الذاتية في النظام قيد الدراسة موجودًا (الشكل 8.18 ، ب).

عندما تتقاطع hodographs (الشكل 8.18 ، أ) ، تنشأ التذبذبات الذاتية في النظام ، ويتم تحديد ترددها وسعتها من خلال القيم وعند نقطة التقاطع.

إذا تقاطع و - عند عدة نقاط (الشكل 8.18 ، أ) ، فهذا يشير إلى وجود عدة دورات حدية في النظام. في هذه الحالة ، يمكن أن تكون التذبذبات في النظام مستقرة وغير مستقرة.

يقدر استقرار نظام التذبذب الذاتي على النحو التالي. يكون وضع التذبذب الذاتي مستقرًا إذا كانت النقطة على hodograph للجزء غير الخطي ، المقابلة لسعة أكبر من القيمة عند نقطة تقاطع hodographs ، غير مغطاة بواسطة hodograph لاستجابة التردد للخطي جزء من النظام. خلاف ذلك ، فإن نظام التذبذب الذاتي غير مستقر.

على التين. 8.18 ، وتتقاطع hodographs عند النقطتين 1 و 2. النقطة 1 يحدد الوضع غير المستقر للتذبذبات الذاتية ، حيث يتم تغطية نقطة hodograph المقابلة للسعة المتزايدة بواسطة hodograph لاستجابة التردد للجزء الخطي من النظام. تتوافق النقطة 2 مع الوضع المستقر للتذبذبات الذاتية ، حيث يتم تحديد اتساعها بواسطة hodograph والتردد - بواسطة hodograph.

كمثال ، دعونا نقدر استقرار التذبذبات الذاتية في نظامين غير خطيين. سنفترض أن وظائف النقل للأجزاء الخطية من هذه الأنظمة تتطابق وتتساوى:

,

لكن عناصرها غير الخطية المضمنة فيها مختلفة. دع النظام الأول يشتمل على عنصر غير خطي "مرحل مثالي" ، موصوف بواسطة النظام (8.14) ، والنظام الثاني - عنصر غير خطي ذو خاصية ثابتة "مكافئ مكعب". باستخدام البيانات الواردة في الجدول 8.1 ، نحصل على:

على التين. يوضح الشكل 8.19 مخططات الرسم البياني لهذه الأنظمة جنبًا إلى جنب مع مخطط تخطيطي AFC للجزء الخطي من النظام. بناءً على ما سبق ، يمكن القول أن التذبذبات الذاتية المستقرة مع التردد والسعة تحدث في النظام الأول ، وتحدث التذبذبات الذاتية غير المستقرة في النظام الثاني.

وزارة التربية والتعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

جامعة ساراتوف التقنية الحكومية

معهد بالاكوفو للهندسة والتكنولوجيا والإدارة

طريقة التوافقية الخطية

دلائل العمل المخبري على مقرر "نظرية التحكم الآلي" لطلبة التخصص 210100

وافق

مجلس التحرير والنشر

معهد بالاكوفو للتكنولوجيا ،

التكنولوجيا والإدارة

بالاكوفو 2004

الغرض من العمل: دراسة النظم غير الخطية باستخدام طريقة التوافقية الخطية (التوافقية) ، وتحديد معاملات الخطية التوافقية لمختلف الروابط غير الخطية. اكتساب مهارات في إيجاد معلمات التذبذبات المتناظرة ذات الاتساع والتردد الثابتين (التذبذبات الذاتية) ، باستخدام الطرق الجبرية والترددية ، وكذلك استخدام معيار ميخائيلوف.

معلومات اساسية

تشير طريقة الخطية التوافقية إلى طرق تقريبية لدراسة الأنظمة غير الخطية. يجعل من الممكن تقييم استقرار الأنظمة غير الخطية بكل بساطة وبدقة مقبولة ، وتحديد تردد وسعة التذبذبات المحددة في النظام.

من المفترض أن يتم تمثيل ACS غير الخطي الذي تم فحصه بالشكل التالي

علاوة على ذلك ، يجب أن يحتوي الجزء غير الخطي على قيمة غير خطية واحدة

يمكن أن يكون هذا اللاخطي إما مستمرًا أو مرحلًا ، لا لبس فيه أو هستيري.

يمكن توسيع أي وظيفة أو إشارة إلى سلسلة وفقًا لنظام مستقل خطيًا ، في حالة معينة ، وظائف متعامدة. يمكن استخدام سلسلة فورييه كسلسلة متعامدة.

دعونا نوسع إشارة الخرج للجزء غير الخطي من النظام إلى سلسلة فورييه

, (2)

ها هي معاملات فورييه ،

,

,

. (3)

وبالتالي ، يمكن تمثيل الإشارة وفقًا لـ (2) كمجموع لا حصر له من التوافقيات مع زيادة الترددات إلخ. هذه الإشارة هي إدخال إلى الجزء الخطي من النظام غير الخطي.

دعونا نشير إلى وظيفة النقل للجزء الخطي

, (4)

ويجب أن تكون درجة كثير الحدود البسط أقل من درجة كثير الحدود المقام. في هذه الحالة ، يكون لاستجابة التردد للجزء الخطي الشكل

حيث 1 - ليس له أعمدة ، 2 - له عمود أو أعمدة.

لاستجابة التردد ، من العدل أن تكتب

وبالتالي ، فإن الجزء الخطي من النظام غير الخطي هو مرشح تمرير عالي. في هذه الحالة ، سيمر الجزء الخطي فقط الترددات المنخفضة دون توهين ، بينما تضعف الترددات العالية بشكل كبير مع زيادة التردد.

تفترض طريقة التوافقية الخطية أن الجزء الخطي من النظام سيمرر فقط مكون التيار المستمر للإشارة والمكون التوافقي الأول. ثم ستبدو الإشارة عند خرج الجزء الخطي

تمر هذه الإشارة عبر الحلقة المغلقة الكاملة للنظام الشكل 1 وعند إخراج العنصر غير الخطي دون مراعاة التوافقيات الأعلى ، وفقًا لـ (2) لدينا

. (7)

في دراسة الأنظمة غير الخطية باستخدام طريقة الخطية التوافقية ، من الممكن حدوث حالات التذبذبات المتماثلة وغير المتماثلة. دعونا ننظر في حالة التذبذبات المتماثلة. هنا و.

ونحن نقدم التدوين التالية

استبدالهم في (7) ، نحصل عليها. (ثمانية)

مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن

. (9)

بحسب (3) و (8) في

,

. (10)

التعبير (9) هو خطي توافقي للخطية ويؤسس علاقة خطية بين متغير الإدخال ومتغير الإخراج عند. وتسمى الكميات معاملات الخطية التوافقية.

وتجدر الإشارة إلى أن المعادلة (9) خطية لقيم محددة و (اتساع وترددات التذبذبات التوافقية في النظام). ولكن بشكل عام ، فإنه يحتفظ بالخصائص غير الخطية ، حيث تختلف المعاملات باختلاف و. تتيح لنا هذه الميزة استكشاف خصائص الأنظمة غير الخطية باستخدام طريقة التوافقية الخطية [Popov E.P.].

في حالة التذبذبات غير المتماثلة ، يؤدي التحويل الخطي التوافقي للخطية إلى المعادلة الخطية

,

,

. (12)

تمامًا مثل المعادلة (9) ، تحتفظ المعادلة الخطية (11) بخصائص العنصر غير الخطي ، نظرًا لأن معاملات الخطية التوافقية ، وكذلك المكون الثابت يعتمدان على كل من الإزاحة وسعة التذبذبات التوافقية.

تسمح المعادلتان (9) و (11) للفرد بالحصول على وظائف النقل للعناصر غير الخطية المتجانسة بشكل متناسق. لذلك من أجل الاهتزازات المتماثلة

, (13)

بينما وظيفة نقل التردد

يعتمد فقط على السعة ولا يعتمد على تردد التذبذبات في النظام.

وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت اللاخطية الفردية المتماثلة ذات قيمة واحدة ، فعندئذ في حالة التذبذبات المتماثلة ، وفقًا لـ (9) و (10) ، نحصل على ذلك ، (15)

(16)

والخطية اللاخطية لها الشكل

بالنسبة إلى اللاخطية الغامضة (مع التباطؤ) ، فإن التكامل في التعبير (16) لا يساوي الصفر ، نظرًا للاختلاف في سلوك المنحنى مع الزيادة والنقصان ، وبالتالي ، فإن التعبير الكامل (9) صالح.

دعونا نجد معاملات الخطية التوافقية لبعض الخصائص غير الخطية. دع الخاصية غير الخطية تأخذ شكل خاصية الترحيل مع التباطؤ والمنطقة الميتة. ضع في اعتبارك كيف تمر التذبذبات التوافقية عبر عنصر غير خطي بهذه الخاصية.



عندما يتم استيفاء الشرط ، أي إذا كان اتساع إشارة الإدخال أقل من المنطقة الميتة ، فلا توجد إشارة عند خرج العنصر غير الخطي. إذا كانت السعة ، فسيتبدل المرحل عند النقاط A و B و C و D.

,

. (18)

عند حساب معاملات الخطية التوافقية ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه مع الخصائص غير الخطية المتماثلة ، تكون التكاملات في التعبيرات (10) في نصف دورة (0 ، ) مع زيادة لاحقة في النتيجة بمعامل اثنين . هكذا

,

. (19)

للعنصر غير الخطي بخاصية الترحيل والمنطقة الميتة

,

لعنصر غير خطي له خاصية الترحيل مع التباطؤ

,

يمكن الحصول على معاملات الخطية التوافقية للخصائص غير الخطية الأخرى بالمثل.

دعونا نفكر في طريقتين لتحديد التذبذبات المتماثلة للسعة والتردد الثابتين (التذبذبات الذاتية) واستقرار الأنظمة الخطية: الجبرية والتردد. لنلقِ نظرة على الطريقة الجبرية أولاً. بالنسبة لنظام مغلق الشكل 1 ، فإن وظيفة النقل للجزء الخطي تساوي

.

نكتب دالة النقل الخطية المتناسقة للجزء غير الخطي

.

المعادلة المميزة للنظام المغلق لها الشكل

. (22)

إذا حدثت تذبذبات ذاتية في النظام قيد الدراسة ، فهذا يشير إلى وجود جذرين خياليين بحتين في معادلته المميزة. لذلك ، نعوض في المعادلة المميزة (22) بقيمة الجذر.

. (23)

يتصور

نحصل على معادلتين تحدد السعة والتردد المطلوبين

,

. (24)

إذا كانت القيم الإيجابية الحقيقية للسعة والتردد ممكنة في الحل ، فيمكن أن تحدث التذبذبات الذاتية في النظام. إذا لم يكن للمدى والتردد قيم موجبة ، فإن التذبذبات الذاتية في النظام تكون مستحيلة.

خذ بعين الاعتبار المثال 1. دع النظام غير الخطي قيد الدراسة يتخذ الشكل

في هذا المثال ، العنصر غير الخطي هو عنصر استشعار له خاصية الترحيل ، والتي لها معاملات الخطية التوافقية

المشغل لديه وظيفة نقل من النموذج

وظيفة النقل للكائن المنظم تساوي

. (27)

وظيفة النقل للجزء الخطي من النظام

, (28)

بناءً على (22) و (25) و (28) ، نكتب المعادلة المميزة لنظام مغلق

, (29)

,

دع 1 / ثانية ، ثانية ، ثانية ، ج.

في هذه الحالة ، تساوي معلمات الحركة الدورية

7,071 ,

دعونا نفكر في طريقة لتحديد معلمات التذبذبات الذاتية في البنادق ذاتية الدفع الخطية باستخدام معيار ميخائيلوف. تعتمد الطريقة على حقيقة أنه عند حدوث التذبذبات الذاتية ، سيكون النظام عند حدود الاستقرار وسيمر جهاز الرسم البياني Mikhailov في هذه الحالة عبر الأصل.

في المثال 2 ، نجد معلمات التذبذبات الذاتية بشرط أن يكون العنصر غير الخطي في النظام الشكل 4 عنصرًا حساسًا له خاصية الترحيل مع التباطؤ ، والتي لها معاملات الخطية التوافقية

,

بقي الجزء الخطي دون تغيير.

نكتب المعادلة المميزة لنظام مغلق

يتم الحصول على هودوجراف ميخائيلوف عن طريق الاستبدال.

وتتمثل المهمة في اختيار سعة التذبذبات التي يمر بها الهودوغراف من خلال أصل الإحداثيات. وتجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة يكون التردد الحالي ، لأنه في هذه الحالة سيمر المنحنى عبر الأصل.

الحسابات التي تم إجراؤها في MATHCAD 7 بسرعة 1 / ثانية ، ثانية ، ثانية ، في وداخل ، أعطت النتائج التالية. في الشكل 5 ، يمر هودوغراف ميخائيلوف عبر الأصل. لتحسين دقة الحسابات ، سنزيد الجزء المطلوب من الرسم البياني. يوضح الشكل 6 جزءًا من hodograph ، مكبّرًا بالقرب من الأصل. يمر المنحنى من خلال أصل الإحداثيات عند.

الشكل 5. الشكل 6.

في هذه الحالة ، يمكن إيجاد تردد التذبذب من حالة أن المعامل يساوي صفرًا. للترددات

يتم جدولة قيم الوحدة

وبالتالي ، فإن تردد التذبذب هو 6.38. وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن بسهولة زيادة دقة الحسابات.

يجب فحص الحل الدوري الناتج ، الذي تحدده قيمة السعة والتردد ، من أجل الاستقرار. إذا كان الحل مستقرًا ، فإن عملية التذبذب الذاتي (دورة حد ثابتة) تحدث في النظام. خلاف ذلك ، ستكون دورة الحد غير مستقرة.

أسهل طريقة لدراسة استقرار الحل الدوري هي استخدام معيار استقرار ميخائيلوف في شكل رسومي. وجد أنه عند ، يمر منحنى ميخائيلوف من خلال أصل الإحداثيات. إذا أعطيت زيادة صغيرة ، فسيأخذ المنحنى موضعًا إما فوق الصفر أو أسفله. لذا في المثال الأخير ، دعنا نزيد ، وهذا هو ، و. يظهر موقف منحنيات ميخائيلوف في الشكل 7.

عند ، يمر المنحنى فوق الصفر ، مما يشير إلى استقرار النظام والعملية العابرة المثبطة. عندما يمر منحنى ميخائيلوف تحت الصفر ، يكون النظام غير مستقر والعابر متشعب. وبالتالي ، فإن الحل الدوري بسعة 6 وتردد التذبذب 6.38 يكون مستقرًا.

لدراسة استقرار الحل الدوري ، يمكن أيضًا استخدام معيار تحليلي تم الحصول عليه من معيار ميخائيلوف الرسومي. في الواقع ، من أجل معرفة ما إذا كان منحنى ميخائيلوف سيرتفع فوق الصفر ، يكفي أن ننظر إلى المكان الذي ستتحرك فيه نقطة منحنى ميخائيلوف ، والتي تقع عند أصل الإحداثيات.

إذا قمنا بتوسيع إزاحة هذه النقطة على طول محوري إحداثيات X و Y ، ثم من أجل استقرار الحل الدوري ، المتجه الذي تحدده الإسقاطات على محاور الإحداثيات

يجب أن يكون موجودًا على يمين المماس MN إلى منحنى ميخائيلوف ، عند النظر إليه على طول المنحنى في اتجاه الزيادة ، والذي يتم تحديد اتجاهه بواسطة الإسقاطات

دعونا نكتب حالة الاستقرار التحليلي بالشكل التالي

في هذا التعبير ، يتم أخذ المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمعامل الحالي لمنحنى ميخائيلوف

,

وتجدر الإشارة إلى أن التعبير التحليلي لمعيار الاستقرار (31) صالح فقط للأنظمة التي ليست أعلى من الترتيب الرابع ، لأنه ، على سبيل المثال ، بالنسبة لنظام الدرجة الخامسة في الأصل ، يمكن استيفاء الشرط (31) ، وسيكون النظام غير مستقر

نطبق المعيار (31) لدراسة استقرار الحل الدوري الذي تم الحصول عليه في المثال 1.

,

,

, ,

مقدمة

تستخدم أنظمة الترحيل على نطاق واسع في ممارسة التحكم الآلي. تتمثل ميزة أنظمة الترحيل في بساطة التصميم والموثوقية وسهولة الصيانة والتكوين. أنظمة الترحيل هي فئة خاصة من ACPs غير الخطية.

على عكس أنظمة الترحيل المستمرة ، يتغير إجراء التحكم فجأة عندما تمر إشارة التحكم الخاصة بالمرحل (غالبًا ما يكون هذا خطأ تحكم) عبر بعض القيم الثابتة (العتبة) ، على سبيل المثال ، عبر الصفر.

تتمتع أنظمة الترحيل ، كقاعدة عامة ، بسرعة عالية نظرًا لحقيقة أن إجراء التحكم فيها يتغير على الفور تقريبًا ، وتعمل إشارة ثابتة متعددة الأجزاء ذات سعة قصوى على المشغل. في الوقت نفسه ، غالبًا ما تحدث التذبذبات الذاتية في أنظمة الترحيل ، والتي تكون في كثير من الحالات عيبًا. في هذا البحث ، قمنا بدراسة نظام ترحيل بأربعة قوانين تحكم مختلفة.

هيكل النظام قيد الدراسة

يشتمل النظام قيد الدراسة (الشكل) 1 على عنصر مقارنة ES ، وعنصر مرحل RE ، ومشغل (مكامل مثالي مع ربح = 1) ، وكائن تحكم (رابط غير دوري بثلاثة ثوابت زمنية ، ومكاسب) . يتم إعطاء قيم معلمات النظام في الجدول. 1 الملحق أ.

الخصائص الثابتة (خصائص المدخلات والمخرجات) لعناصر الترحيل المدروسة موضحة في الشكل. 2.

على التين. يوضح الشكل 2 ، أ خصائص المرحل المثالي ثنائي الموضع ، في الشكل. 2b سمة تتابع ثلاثي المواضع مع منطقة ميتة. على التين. يُظهر الشكلان 2 ج و 2 د خصائص التتابع ثنائي الموضع مع التباطؤ الإيجابي والسلبي ، على التوالي.

يمكن نمذجة ACP قيد الدراسة باستخدام حزم النمذجة المعروفة مثل SIAM أو VisSim.

تعليق. في بعض حزم المحاكاة ، قيمة المخرجات

يمكن أن تأخذ إشارة الترحيل القيم فقط ± 1 بدلاً من ± B ، حيث B هو رقم تعسفي. في مثل هذه الحالات ، من الضروري أن تساوي مكاسب المندمج.

أمر العمل

لإكمال العمل ، يتلقى كل طالب نسخة من البيانات الأولية من المعلم (انظر القسم 2).

يتم تنفيذ العمل على مرحلتين.

المرحلة الأولى هي البحث الحسابي (يمكن إجراؤه خارج المختبر).

المرحلة الثانية تجريبية (أجريت في المختبر). في هذه المرحلة ، بمساعدة إحدى الحزم ، تتم محاكاة العمليات العابرة في النظام قيد الدراسة للأوضاع المحسوبة في المرحلة الأولى ، ويتم التحقق من دقة الطرق النظرية.

يتم تقديم المادة النظرية اللازمة في القسم 4 ؛ يحتوي القسم 5 على أسئلة التحكم.

3.1 التسوية - جزء البحث

1. احصل على تعبيرات عن سعة التردد وتردد الطور والخصائص الحقيقية والخيالية للجزء الخطي من النظام.

2. حساب وبناء خاصية اتساع الطور للجزء الخطي من النظام. للحساب ، استخدم البرامج من حزمة TAU. بالضرورة طباعة قيم استجابة التردد الحقيقية والخيالية(10-15 نقطة المقابلة ل الثالث والثانيالأرباع).

4. باستخدام الطريقة الرسومية التحليلية لـ Goldfarb ، حدد سعة وتكرار التذبذبات الذاتية وثباتها لجميع المرحلات الأربعة. يمكن أيضًا حساب معلمات التذبذب الذاتي بشكل تحليلي. تصور نوعيا صورة المرحلة للنظام لكل حالة من الحالات.

5. بالنسبة لترحيل ثلاثي المواضع ، حدد قيمة واحدة لكسب الجزء الخطي ، حيث لا توجد تذبذبات ذاتية ، وقيمة الحدود التي تتوقف عندها التذبذبات الذاتية.

جزء تجريبي

1. باستخدام إحدى حزم المحاكاة المتاحة ، قم بتجميع دائرة المحاكاة لـ ACP قيد الدراسة. بإذن من المعلم ، يمكنك استخدام المخطط النهائي. اضبط معلمات المخطط وفقًا للمهمة.

2. تحقق من العملية العابرة في نظام مع مرحل مثالي (طباعة) ، مع تطبيق إجراء قفزة x (t) = 40 * 1 (t) على الإدخال. قياس سعة وتواتر التذبذبات الذاتية ، ومقارنتها بالقيم المحسوبة. كرر التجربة عن طريق تعيين شروط أولية غير صفرية (على سبيل المثال ، y (0) = 10 ، y (1) (0) = - 5).

3. تحقق من العملية المؤقتة في نظام به مرحل ثلاثي المواضع لقيمتين مختلفتين لسعة إشارة الدخل x (t) = 40 * 1 (t) و x (t) = 15 * 1 (t). طباعة العابرين ، وقياس سعة وتكرار التذبذبات الذاتية (إن وجدت) ، ومقارنتها مع القيم المحسوبة ، واستخلاص النتائج.

4. التحقيق في العمليات العابرة في نظام مع مرحل ثلاثي المواضع لقيم أخرى لكسب الجزء الخطي (انظر الفقرة 5 ، القسم 3.1).

5. تحقق من العمليات العابرة في نظام به مرحلات ثنائية الموضع مع تباطؤ في ظروف أولية صفرية وغير صفرية و x (t) = 40 * 1 (t). طباعة العابرين ، وقياس سعة وتكرار التذبذبات الذاتية (إن وجدت) ، ومقارنتها مع القيم المحسوبة ، واستخلاص النتائج.

الجزء النظري

الطريقة المستخدمة على نطاق واسع لحساب الأنظمة غير الخطية هي طريقة التوافقية الخطية (وصف الوظائف).

تتيح الطريقة تحديد معلمات التذبذبات الذاتية (السعة والتردد) ، واستقرار التذبذبات الذاتية ، واستقرار موضع التوازن لـ ASR غير الخطي. على أساس طريقة الخطية التوافقية ، تم تطوير طرق لبناء عمليات عابرة وتحليل وتوليف ASR غير الخطي.

طريقة التوافقية الخطية

كما لوحظ بالفعل ، في ACPs غير الخطية ، وعلى وجه الخصوص ، الترحيل ، غالبًا ما يتم ملاحظتها تذبذبات دورية مستقرةالاتساع والتردد الثابت ، ما يسمى التذبذبات الذاتية. علاوة على ذلك ، يمكن أن تستمر التذبذبات الذاتية حتى مع التغييرات المهمة في معلمات النظام. أظهرت الممارسة أنه في كثير من الحالات تقلبات القيمة المنظمة (الشكل 3) قريبة من التوافقية.

إن قرب التذبذبات الذاتية من التذبذبات التوافقية يجعل من الممكن استخدام طريقة الخطية التوافقية لتحديد معلماتها - السعة A والتردد w 0. تعتمد الطريقة على افتراض أن الجزء الخطي من النظام هو مرشح تمرير منخفض (فرضية المرشح). دعونا نحدد الظروف التي بموجبها يمكن أن تكون التذبذبات الذاتية في النظام قريبة من التذبذبات التوافقية. نحن نقصر أنفسنا على الأنظمة التي ، كما في الشكل. 3 يمكن اختزالها إلى سلسلة توصيل لعنصر غير خطي وجزء خطي. نحن نفترض أن الإشارة المرجعية هي قيمة ثابتة ؛ للتبسيط ، سنأخذها مساوية للصفر. وإشارة الخطأ (الشكل 3) متناسقة:

(1)

يمكن تمثيل إشارة الخرج لعنصر غير خطي ، مثل أي إشارة دورية - في الشكل 3 ، هذه تذبذبات مستطيلة - على أنها مجموع التوافقيات لسلسلة فورييه.

لنفترض أن الجزء الخطي من النظام هو مرشح تمرير منخفض (الشكل 4) ويمر فقط التوافقي الأول بتردد w 0. الثانية بتردد 2w 0 وأعلى التوافقيات يتم ترشيحها بواسطة الجزء الخطي. في هذه الحالة ، في الإخراج الخطي الأجزاء الموجودة عمليا فقط أول متناسق ، ويمكن إهمال تأثير التوافقيات الأعلى

وبالتالي ، إذا كان الجزء الخطي من النظام عبارة عن مرشح تمرير منخفض ، وكان تردد التذبذب الذاتي w 0 يفي بالشروط

, (4)

يُطلق على افتراض أن الجزء الخطي من النظام عبارة عن مرشح تمرير منخفض فرضية التصفية . يتم استيفاء فرضية المرشح دائمًا إذا كان الفرق بين درجات كثيرات الحدود للمقام وبسط دالة النقل للجزء الخطي

(5)

اثنان على الأقل

الشرط (6) مرضي للعديد من الأنظمة الحقيقية. مثال على ذلك هو الرابط غير الدوري للترتيب الثاني والتكامل الحقيقي

,

. (7)

في دراسة التذبذبات الذاتية القريبة من التوافقي ، يتم أخذ التوافقية الأولى فقط للتذبذبات الدورية عند خرج عنصر غير خطي في الاعتبار ، حيث يتم تصفية التوافقيات الأعلى عمليا بواسطة الجزء الخطي على أي حال. في وضع التذبذب الذاتي ، الخطي التوافقي عنصر غير خطي. يتم استبدال العنصر غير الخطي بعنصر خطي مكافئ بـ مكاسب معقدة (وصف الوظيفة) اعتمادًا على سعة إشارة الإدخال التوافقية:

أين وهي الأجزاء الحقيقية والخيالية من ،

- جدال،

- وحدة.

في الحالة العامة ، يعتمد ذلك على كل من السعة وتواتر التذبذبات الذاتية والمكون الثابت. كسب عنصر غير خطي معقد ماديًا ، ويشار إليه بشكل أكثر شيوعًا باسم معامل الخطي التوافقي ، هناك كسب معقد للعنصر غير الخطي في التوافقي الأول. معامل معامل الخطية التوافقي

(9)

يساوي عدديًا نسبة اتساع التوافقي الأول عند خرج العنصر غير الخطي إلى سعة الإشارة التوافقية المدخلة.

جدال حاد

(10)

يميز تحول الطور بين التوافقي الأول لتذبذبات الخرج وإشارة الإدخال التوافقية. للخطية أحادية القيمة ، على سبيل المثال ، في الشكل. 2 أ و 2 ب ، التعبير الحقيقي و

للخطية الغامضة الشكل. 2 ، ج ، 2 ، د ، تحددها الصيغة

أين S هي منطقة حلقة التخلفية. تُؤخذ المنطقة S بعلامة زائد إذا تم تجاوز حلقة التخلفية في الاتجاه الموجب (الشكل 2 ج) وبخلاف ذلك بعلامة ناقص (الشكل 2 د).

في الحالة العامة ، وتحسب بواسطة الصيغ

,

, (12)

حيث ، هي دالة غير خطية (خاصية عنصر غير خطي).

في ضوء ما سبق ، في دراسة التذبذبات الذاتية القريبة من التوافقي ، يتم استبدال ASR غير الخطي (الشكل 3) بواحد مكافئ بمعامل خطي متناسق بدلاً من عنصر غير خطي (الشكل 5). إشارة الخرج للعنصر غير الخطي في الشكل. تم وضع علامة 5 كما هو عليه

يؤكد أن العنصر غير الخطي يولد فقط

أول متناسق من الاهتزازات. يمكن العثور على الصيغ الخاصة بمعاملات الخطية التوافقية لغير الخطية النموذجية في الأدبيات ، على سبيل المثال ، في. يوضح الجدول في الملحق ب خصائص عناصر الترحيل المدروسة ، والصيغ الخاصة بها ومخططاتها. هناك أيضًا صيغ و hodographs للمعامل المتبادل للخط التوافقي ، المحدد من خلال التعبير

, (13)

أين الأجزاء الحقيقية والخيالية من. hodographs ورسمت في الإحداثيات ، وعلى التوالي.

دعونا الآن نكتب شروط وجود التذبذبات الذاتية. النظام في الشكل. 5 تعادل الخطي. في النظام الخطي ، توجد اهتزازات غير مخمدة إذا كانت على حدود الاستقرار. نستخدم شرط حد الاستقرار وفقًا لمعيار Nyquist:

. (14)

معادلة (14) هناك شرط وجود التذبذبات الذاتية ، قريب من التوافقي. اذا كان هناك إيجابي حقيقي الحلين A و w 0 للمعادلة (14) ، ثم في ASR غير الخطي توجد تذبذبات ذاتية قريبة من التوافقية. خلاف ذلك ، التذبذبات الذاتية غائبة أو غير متناسقة. المعادلة (14) تنقسم إلى قسمين - فيما يتعلق بالجزء الحقيقي والخيالي:

;

;

بتقسيم كلا الجزأين من المعادلة (14) مع مراعاة الصيغة (13) ، نحصل على شرط وجود التذبذبات الذاتية في شكل Goldfarb L.S:

. (17)

المعادلة (17) تنقسم أيضًا إلى قسمين:

,

(18)

وفي بعض الحالات يكون من الأنسب استخدامها لتحديد معايير التذبذبات الذاتية.

اقترح Goldfarb طريقة رسومية تحليلية لحل النظام (17) وتحديد ثبات التذبذبات الذاتية.

في الإحداثيات ، يتم إنشاء hodographs (الشكل 6 أ). إذا تقاطعت hodographs ، فهناك تذبذبات ذاتية. يتم تحديد معلمات التذبذبات الذاتية - A و w 0 عند نقاط التقاطع - التردد w 0 وفقًا للهودوغراف ، السعة وفقًا لـ hodograph. على التين. 6 أ - نقطتا تقاطع ، مما يدل على وجود دورتين نهائيتين.

	ب)

لتحديد استقرار التذبذبات الذاتية ، وفقًا لـ Goldfarb ، يتم تفقيس الجانب الأيسر من AFC للجزء الخطي عند التحرك على طول AFC في اتجاه زيادة التردد (الشكل 6).

تكون التذبذبات الذاتية مستقرة إذا مر ، عند نقطة التقاطع ، hodograph للعنصر غير الخطي من المنطقة غير المظللة إلى المنطقة المظللة عند التحرك في اتجاه زيادة السعة A.

إذا حدث الانتقال من المنطقة المظللة إلى المنطقة غير المظللة ، فإن التذبذبات الذاتية تكون غير مستقرة.

على التين. 6 ب يصور نوعياً صورة الطور المقابلة لدورتي الحد في الشكل. 6 ، أ. نقطة التقاطع مع المعلمات وفي الشكل. 6 أ يتوافق مع دورة الحد غير المستقرة في الشكل. 6 ، ب ، إلى نقطة مع المعلمات ولتحقيق انهيار التذبذبات الذاتية ، في هذه الحالة ، الهودوغرافات ولا تتقاطع. يمكن تحقيق نفس التأثير عن طريق زيادة المنطقة الميتة d أو تقليل اتساع إشارة خرج المرحل B. هناك قيمة حدية معينة K l يتلامس عندها AFC للجزء الخطي خطأ! خطأ في الاتصال.حيث ، وقيمة السعة. وبطبيعة الحال ، يؤدي هذا إلى تغيير نوعي في صورة المرحلة للنظام.

تتيح لك طريقة التوافقية الخطية (التوازن التوافقي) تحديد شروط وجود ومعلمات التذبذبات الذاتية المحتملة في أنظمة التحكم الأوتوماتيكية غير الخطية. يتم تحديد التذبذبات الذاتية من خلال الدورات المحدودة في فضاء الطور للأنظمة. دورات الحد يقسم الفضاء (بشكل عام - متعدد الأبعاد) في مجالات العمليات المخمده والمتشعبه. نتيجة لحساب معلمات التذبذبات الذاتية ، يمكن للمرء أن يستنتج أنها مقبولة لنظام معين أو أنه من الضروري تغيير معلمات النظام.

تسمح الطريقة بما يلي:

تحديد شروط استقرار النظام غير الخطي ؛

أوجد تردد وسعة التذبذبات الحرة للنظام ؛

توليف الدوائر التصحيحية لضمان المعلمات المطلوبة للتذبذبات الذاتية ؛

التحقيق في التذبذبات القسرية وتقييم جودة العمليات العابرة في أنظمة التحكم الآلي غير الخطية.

شروط تطبيق طريقة الخط التوافقي.

1) عند استخدام الطريقة ، من المفترض أن خطيجزء من النظام مستقر أو محايد.

2) تكون الإشارة عند دخل الرابط غير الخطي قريبة في الشكل من الإشارة التوافقية. هذا الحكم يحتاج إلى بعض الشرح.

يوضح الشكل 1 المخططات الكتلية للـ ACS غير الخطي. تتكون الدائرة من روابط متصلة بالسلسلة: رابط غير خطي y = F (x) وخطي

عشر ، والتي يتم وصفها بواسطة المعادلة التفاضلية

بالنسبة إلى y = F (g - x) = g - x نحصل على معادلة حركة النظام الخطي.

ضع في اعتبارك حرية الحركة ، أي لـ g (t) º 0. ثم ،

في حالة وجود تذبذبات ذاتية في النظام ، تكون الحركة الحرة للنظام دورية. تنتهي الحركة غير الدورية بمرور الوقت مع توقف النظام عن بعض المواضع النهائية (عادةً ، على محدد مزود خصيصًا).

مع أي شكل من أشكال الإشارة الدورية عند إدخال عنصر غير خطي ، فإن الإشارة عند خرجها ستحتوي ، بالإضافة إلى التردد الأساسي ، على توافقيات أعلى. الافتراض بأن الإشارة عند إدخال الجزء غير الخطي من النظام يمكن اعتبارها متناسقة ، أي أن

x (t) @ a × sin (wt) ،

حيث w = 1 / T ، T هي فترة التذبذبات الحرة للنظام ، تعادل افتراض أن الجزء الخطي من النظام فعال المرشحاتالتوافقيات الأعلى للإشارة y (t) = F (x (t)).

في الحالة العامة ، عندما يعمل عنصر غير خطي للإشارة التوافقية x (t) عند الإدخال ، يمكن تحويل إشارة الخرج إلى فورييه:

معاملات سلسلة فورييه

لتبسيط العمليات الحسابية ، قمنا بتعيين C 0 = 0 ، أي أن الوظيفة F (x) متناظرة بالنسبة إلى الأصل. مثل هذا القيد ليس ضروريًا ويتم عن طريق التحليل. ظهور المعامِلات C k ¹ 0 يعني ، في الحالة العامة ، أن التحويل غير الخطي للإشارة يكون مصحوبًا بتحولات طورية للإشارة المحولة. على وجه الخصوص ، يحدث هذا في اللاخطية ذات الخصائص الغامضة (مع أنواع مختلفة من حلقات التخلفية) ، وكلاهما تأخير ، وفي بعض الحالات ، تقدم المرحلة.

يعني افتراض التصفية الفعالة أن اتساع التوافقيات الأعلى عند إخراج الجزء الخطي من النظام صغيرة ، أي ،

يتم تسهيل تحقيق هذا الشرط من خلال حقيقة أنه في كثير من الحالات ، تبين أن اتساع التوافقيات الموجودة بالفعل مباشرة عند خرج اللاخطية أقل بكثير من سعة التوافقية الأولى. على سبيل المثال ، عند إخراج مرحل مثالي مع إشارة متناسقة عند الإدخال

y (t) = F (с × sin (wt)) = علامة × (sin (wt))

لا توجد حتى التوافقيات ، واتساع التوافقية الثالثة في ثلاث مراتأقل من سعة التوافقي الأول

دعنا نفعل تقييم درجة القمعالتوافقيات الأعلى للإشارة في الجزء الخطي من البنادق ذاتية الدفع. للقيام بذلك ، نقوم بعدد من الافتراضات.

1) تردد التذبذبات الحرة للـ ACS يساوي تقريبًا تردد القطعالجزء الخطي. لاحظ أن تواتر التذبذبات الحرة لنظام التحكم الآلي غير الخطي يمكن أن يختلف اختلافًا كبيرًا عن تواتر التذبذبات الحرة للنظام الخطي ، لذا فإن هذا الافتراض ليس صحيحًا دائمًا.

2) نأخذ مؤشر التذبذب ACS يساوي M = 1.1.

3) LAH بالقرب من تردد القطع (w s) له منحدر -20 ديسيبل / ديسمبر. ترتبط حدود هذا القسم من LAH بمؤشر التذبذب بواسطة العلاقات

4) يقترن التردد w max مع قسم LPH ، بحيث عندما يكون w> w max يكون منحدر LAH على الأقل أقل من 40 ديسيبل / ديسمبر.

5) اللاخطية - مرحل مثالي بخاصية y = sgn (x) بحيث تكون التوافقيات الفردية فقط موجودة عند خرجها غير الخطي.

ترددات التوافقي الثالث w 3 \ u003d 3w c ، الخامس w 5 \ u003d 5w c ،

lgw 3 = 0.48 + lgw ج ،

lgw 5 = 0.7 + lgw ج.

التردد w max = 1.91w s ، lgw max = 0.28 + lgw s. تردد الزاوية يبعد 0.28 عقود عن تردد القطع.

سيكون الانخفاض في اتساع التوافقيات الأعلى للإشارة أثناء مرورها عبر الجزء الخطي من النظام للنسخة التوافقية الثالثة

L 3 \ u003d -0.28 × 20- (0.48-0.28) × 40 \ u003d -13.6 ديسيبل ، أي 4.8 مرة ،

للخامس - L 5 \ u003d -0.28 × 20- (0.7-0.28) × 40 \ u003d -22.4 ديسيبل ، أي 13 مرة.

وبالتالي ، فإن الإشارة عند خرج الجزء الخطي ستكون قريبة من التوافقية

هذا يعادل افتراض أن النظام هو مرشح تمرير منخفض.